Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Tabelle: Lösungsansatz für eine partikuläre Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ in Abhängigkeit vom Typ der Störfunktion g(x)

Störfunktion g(x)Lösungsansatz
Polynomfunktion vom Grade n

Polynom vom Grade n

Parameter: Koeffizienten des Polynomes
Exponentialfunktion
  1. c ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung
    Parameter: A
  2. c ist eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung
    Parameter: A
  3. c ist eine doppelte Lösung der charakteristischen Gleichung
    Parameter: A
Sinusfunktion oder Kosinusfunktion oder Linearkombination von beiden
  1. ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung

    oder

    Parameter: A, B bzw. C,
  2. ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung

    oder

    Parameter: A, B bzw. C,

oder

( sei Polynomfunktion vom Grad n)
  1. ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung

    Polynome vom Grad n
    Parameter: Koeffizienten der Polynome und
  2. ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung

    Polynome vom Grad n
    Parameter: Koeffizienten der Polynome und


Beispiele:

Gesucht ist die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL

wobei für die Störfunktion im Folgenden verschiedene Funktionstypen vorgegeben werden.

Zunächst wird die zugehörige homogene DGL

gelöst.
Sie besitzt die charakteristische Gleichung

mit den reellen Lösungen und Dies führt zu der Fundamentalbasis

und damit zur allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung



Nun werden verschiedene Störfunktionen vorgegeben und mit Hilfe der oben stehenden Tabelle kann eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ermittelt werden.

Störfunktion g(x)Lösungsansatz Begründung/Anmerkung
1.
Parameter:
2.
Parameter:
3. ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung
Parameter:
4. ist eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung
Parameter:
5.
ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung
Parameter:
6. ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung
Parameter:


zu 1.:

Wir gehen mit dem Ansatz

in die DGL:

Die Glieder werden noch nach fallenden Potenzen geordnet:

Durch Koeffizientenvergleich folgt weiter:

Dieses gestaffelte lineare Gleichungssystem wird durch gelöst. Damit ist

und die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL besitzt die Form

mit

zu 2.:

Lösung:

mit

zu 3.:

Lösung:

mit

zu 4.:

Mit dem Lösungsansatz

folgt durch Einsetzen in die DGL:

Somit ist

eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL und die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet

mit

zu 5.:

Wir gehen mit dem Lösugsansatz

in die DGL:

Nach Division durch und Ordnen der Glieder folgt weiter:

Ein Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten dieser Gleichung führt zu dem gestaffelten linearen Gleichungssystem

mit der eindeutig bestimmten Lösung Somit ist

eine partikuläre Lösung und

mit die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL.

zu 6.:

Mit dem Lösungsansatz

folgt durch Einsetzen in die inhomogene DGL:

Wir ordnen nun die Glieder nach Sinus- und Kosinusfunktionen:

Durch Koeffizientenvergleich folgt weiter:

Dieses lineare Gleichungssystem besitzt die Lösung

Somit ist

Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL lautet daher:

mit